GEOMETRÍA ANALÍTICA CONTENIDOS

República Bolivariana De Venezuela.

Ministerio Del Poder Popular Para La Defensa.

Universidad Nacional Experimental Politécnica De La Fuerza Armada.

Núcleo Mérida Extensión Tovar.

GEOMETRÍA ANALÍTICA

                        Docente                                                                Estudiantes

                     Eliana Guillen                                      Anyeli Contreras C.I 23.493.318

Anyely Molina C.I 23.493.790

Fatima Gonzalez C.I 21.330.459

Jugetsi Rivera C.I 21.330.971

CONTENIDO

UNIDAD I: Segmento

·         Geometría Analítica

·         Secciones Cónicas

·         La Parábola

·         Definición De Segmento En El Planto Cartesiano

·         Pendiente De Segmento

·         Alineación De 3 O Más Puntos

·         Operaciones Con Segmentos

·         Angulo Entre Dos Segmento

UNIDAD II: Lugares Geométricos En El Plano

·         Definición De Lugares Geométrico, Representación Grafica Y Analítica

·         La Recta, Definición Y Ecuación General

·         La Circunferencia, Definición, Ecuación Canoníca Y Ecuación General

·         Parábola, Definición, Ecuación General Canoníca Y Propiedades Geométricas

·         La Elipse, Ecuación General Canoníca

·         La Hipérbola Y Figura Canoníca

UNIDAD III: Coordenadas Polares Y Ecuaciones Paramétricas

·         Coordenadas Polares Definición, Distancia Entre 2 Puntos De La Recta

·         Circunferencia, Parábolas En Ecuación De Las Curvas En Coordenadas Polares

·         Ecuaciones Paramétricas

·         Representación Paramétricas De Las Canonícas

UNIDAD IV: Geometría Analítica Del Espacio

·         Sistema De Representación En El Espacio

·         Distancia Entre 2 Puntos En R3

·         Punto De División En R3

·         Cosenos Director R3  De Una Recta En El Espacio

·         Ángulo Formado Por 2 Rectas Dirigidas En El Espacio

·         El Plano, Ecuación General

·         Ecuaciones Para Que 4 Puntos Sean Coplanarios

·         La Recta En R3

·         Ecuaciones De La Recta En R3

·         Ángulo Entre Una Recta Y Un Plano

·         Numero Directores De La Intersección De 2 Planos

UNIDAD I

Geometría analítica

-       Estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del algebra en un determinado sistema de coordenadas.

-       Cabe resaltar que la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

Secciones cónicas

-       El resultado de la intersección de la superficie de un cono, con un plano, da lugar a lo que se denominan secciones cónicas, que son: la parábolas, la elipse, la circunferencia y la hipérbolas

La parábola

-       Es el lugar geométricos de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz

-       Una parábola cuyo eje de simetría sea paralelo al eje de las abscisas se expresa mediante la ecuación

La Elipse

-       Es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancia a dos puntos son fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia  entre los vértices

-       Un elipse centrada en los ejes con longitudes de semi eje A y B viene dada por la expresión:

-       Si los eje son iguales y los llamamos C

-       El resultado es una circunferencia

La Hipérbola

-       Es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la circunferencia (resta) de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.

-        La hipérbola tiene por expresión

Definición de Segmento

-       Es un fragmento de recta que esta que está comprendido por dos puntos extremos o finales

Ejemplo:

Dado los dos puntos A y B, se llaman segmento AB a la intersección de la semi recta de origen A que contiene al punto B con la semi recta e origen B que contiene al punto A

Los puntos A y B son los extremos del segmento y los puntos sobre la recta a la que pertenece el segmento, serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.

Tipos de segmentos

·         Colineales: son aquellos que se encuentran en la misma recta. Los segmentos AB, BC y CD con colineales

·         No Colineales: son aquellos que se encuentran en la misma dirección de una recta. Los segmento AB y BC no son colineales

Comparación de segmento

Para saber si un segmento es de igualdad  desigualdad tenemos entonces que verificar primero

Igualdad de segmento

 Verificar por suposición, goza de las siguientes cualidades:

·         Idéntica, reflexiva o refleja: es cuando cualquier segmento es igual a sí mismo.

·         Reciproca o simétrica: si un segmento es congruente con otro, aquel es congruente con el primero

·         Transitiva: si un segmento es congruente con otro, y este a su vez con un tercero, el primero es congruente con el tercero

·         Desigualdad del segmento: goza de la propiedad transitiva para las relaciones de mayor y de menor

Operaciones básicas de segmento

·         Sumar: los colocamos uno a continuación del otro, sobre la misma recta y el siguiente valor de la suma será la recta total obtenida.

Ejemplo:

Si tenemos 3 segmentos AB de 2cm, CD 3cm, y EF 6cm y luego los ubicamos sobre una recta, una a continuación del otro, tal como la suma de los tres segmentos será el segmento AF de 11cm.

RESULTADO

·         Restar: para restar dos segmentos puedes llevarlos a ambos sobre la misma línea haciendo coincidir uno de los extremos de los dos, el sobrante será segmento final

Ejemplo:

Tengo 2 segmentos AB de valor 2cm y el otro CD 5cm, entonces hacemos coincidir los extremos A y C. la diferencia nos vendrá dada por el segmento MN que medirá 3cm.

RESULTADO

La diferencia nos vendrá dada por el segmento MN que medirá 3 cm.

·         Multiplicar: en esta operación aritmética estudiamos el producto de un número natural por el valor de un segmento. Consiste en sumar tantos segmentos iguales como unidades tiene el numero natural

Ejemplo:

Tenemos un segmento de 2cm que lo multiplicamos por el numero 4 que es un numero entero y positivo. Sobre la recta r colocamos este segmento, uno a continuación de otro, tantas veces como unidades tiene el número natural, en este caso 4. La longitud del segmento es el valor del producto, es decir 8cm.

·         Dividir: estudiamos el cociente del valor de un segmento entre un numero natural. El cociente que obtengamos será el valor dl segmento que nos piden.

Ejemplo:

 Tenemos el segmento AB que es de 12 cm y nos dicen que lo dividamos entre el numero natural 4.

Si dividimos 12 entre 4 obtendremos que el segmento que ha sido multiplicado por 4 vale 3 cm.

El resultado de la división de un segmento de 12 cm., entre 4 será un segmento que mide 3 cm.

Plano cartesiano

-       Está formada por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal llamada eje de las abscisas (X) y una vertical llamada eje de las ordenadas (Y), y el punto donde se cortan recibe el nombre de origen

-       Tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales son coordenadas o pares ordenados.

Proyección de los puntos sobre los ejes

-       Si es bidimensional se denomina plano cartesiano y se compone de la siguiente manera

Para hacer su ubicación del punto se detalla el numero y luego se ubica en el plano.

Ejemplo:

A= (O,O) B=(-3,1) C=(-1.5,-2.5) D=(2,3)

La recta

Es un conjunto de puntos colocados uno detrás de otro en la misma dirección. La línea recta no tiene ni principio ni fin.

Semirrecta

Es parte de una recta que tiene principio u origen y no tiene fin

Ejemplo:

Las puntas de las flechas nos indican que tienen sentidos opuesto o contrarios, la semirrecta  tiene sentido hacia la izquierda o a la derecha

Angulo entre dos segmentos

Está formado por la inclinación de la recta de allí depende su pendiente si el ángulo es positivo o negativo.

Si se conoce la pendiente (m), y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (o, b) correspondiente a (n) en la formula principal ya vista

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.

UNIDAD II

LUGAR GEOMÉTRICO

    ¿Qué se entiende por lugar geométrico?

      Imagínate una serie de puntos en un plano en que todos gozan de la misma propiedad a ese conjunto de puntos le llamamos lugar geométrico.

    Seguramente te he aclarado muy poco. Veamos un ejemplo muy sencillo.

    Últimamente hemos estudiado diversos aspectos de la circunferencia. La circunferencia la dibujamos en un plano, un papel, la pizarra, etc., y en realidad se trata de muchos puntos que poseen todos, la misma propiedad  y es que equidistan (están a igual distancia) de otro punto fijo que llamamos centro.

    En este caso, la circunferencia es un lugar geométrico.

    En la figura tienes 50 puntos muy grandes redondos de color amarillo. Todos estos puntos amarillos gozan de la propiedad de estar a la misma distancia del centro, representado por un gran punto circular de color rojo. La distancia de cada punto al centro viene representada por una línea azul y es la misma para todos los puntos amarillos.

    El lugar geométrico de los puntos amarillos representa a una circunferencia.

    El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos se llama mediatriz:

Mediatriz

   Cualquiera de las líneas de puntos de D tiene la misma longitud que su correspondiente en D’.

    Recuerda que la mediatriz de un segmento es la perpendicular a este segmento cuyos puntos están a igual distancia de A y B y divide a en dos partes iguales. Podemos definir a la mediatriz de un segmento como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos A y B.

    Todos los puntos de la mediatriz gozan de la propiedad de equidistar de dos puntos fijos.

La recta

            En geometría euclidiana, la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin

En un plano cartesiano podemos representar una recta mediante una ecuación general definida en dicho plano ya sea mediante coordenadas usando puntos. 

Ecuación de la recta

las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

ECUACION GENERAL DE LA RECTA

AX+BY+C=0

EJERCICIO

1. determine la pendiente una vez graficados los siguientes puntos A(2,4)  B(6,3)

2.determine la función a fin sabiendo que el punto P(2,-8)  Q(3,-6)  grafique los puntos y evalué la función obtenida

.

3.determine la función a fin sabiendo que A(4,6) B(8,2) grafique3 los puntos y evalué.

4. determine el valor de la pendiente ,punto medio y punto de corte sabiendo que A(3,5) B(4,-6) represente gráficamente

La circunferencia

            La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.

La circunferencia solo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los focos coinciden. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador¹

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia gonio métrica.

             

                         

ECUACION CANONICA

            Si hallamos la distancia del centro (c) de la circunferencia al punto (p) dicha distancia es constante e igual al radio de la circunferencia obtenemos entonces

d(c,p)=   Si elevamos ambos términos al cuadrado nos queda

R²=(x-x.)²+(y-y.)²

(x-x.)²+(y-y.)²=R²

Esta expresión recibe el nombre de ecuación canoníca.

Ecuación general

       Desarrollando la expresión anterior, obtenemos una ecuación cuadrática de 2 variables de la forma AX²+AY²+BX+CY+D=0, donde los coeficientes que acompañan a las variables cuadráticas son iguales. Esta expresión recibe el nombre de ecuación general de la circunferencia.

Ejercicios

1.    Hallar la ecuación de la circunferencia de C(-2,5) Y R(4)

2.    Hallar el centro y el radio de la circunferencia

COORDENADAS POLARES

En un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia, ampliamente utilizados en física y trigonometría.

De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen opolo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece ensentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

REPRESENTACIÓN DE PUNTOS CON COORDENADAS POLARES

En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL

En la fIgura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.

·         El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL. El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.

·         Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de coordenadas polares no hay una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de las coordenadas polares. Esto ocurre por dos motivos:

·                  Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto ( , θ) se puede representar como ( , θ ±  ×360°) o (− , θ ± (2  + 1)180°), donde   es un número entero cualquiera.

·                  El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo.⁵ Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar   a números no negativos   ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).

Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas(especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes

CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro a su vez es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en cantidad constante llamada radio.

ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES

Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la  forma r = f(θ). Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia,  podemos obtener una tabla de valores para ciertos puntos y luego  representarlos en el sistema polar; luego sería cuestión de trazar la  gráfica siguiendo estos puntos.

ECUACIONES PARAMÉTRICA

Una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo   para determinar la posición y la velocidad de un móvil.